Orthogonalité de deux vecteurs de l'espace

Définition

• Soit   \(\overrightarrow{u}\)  et  \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs non nuls de l'espace.
  Soi t   \(\text A\)  un p oint de l'espace. Soit \(d_1\) et \(d_2\)  l es droites de l'espace passant pa r \(\text A\) et de vecteurs directeurs respectifs \(\overrightarrow{u}\)  et  \(\overrightarrow{v}\) .
  Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\)  et  \(\overrightarrow{v}\) sont dits orthogonaux si les droites \(d_1\) et \(d_2\)   s ont perpendiculaires.
  
• Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l'espace.
  

Propriété

Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\)  et  \(\overrightarrow{v}\) de l'espace sont orthogonaux si et seulement si \(\boxed{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0}\) .

Démonstration

Soit \(\overrightarrow u\) et  \(\overrightarrow v\) deux vecteurs de l'espace. On note \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) trois points tels que \(\overrightarrow u = \overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow v = \overrightarrow{\mathrm{BC}}\) . Alors  \(\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow u + \overrightarrow v\) .

• On suppose   \(\overrightarrow u\) et  \(\overrightarrow v\)   orthogonaux. 
  

Alors, le triangle \(\mathrm{ABC}\) est rectangle en \(\text B\) .
Donc, par le théorème de Pythagore, \(\mathrm{AC^2=AB^2+BC^2}\) , soit \(||\overrightarrow u+\overrightarrow v||^2=||\overrightarrow u||^2+||\overrightarrow v||^2\) .
Cette égalité équivaut à  \(||\overrightarrow u+\overrightarrow v||^2-||\overrightarrow u||^2-||\overrightarrow v||^2=0\) . 
Donc, d'après une identité de polarisation, \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \dfrac 12\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\right) = \dfrac12 \times 0 = 0\) .

• Réciproquement, d'après une identité de polarisation, dire que \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} =0\)  signifie que \(\dfrac12\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\right) =0\) , soit   \(||\overrightarrow u+\overrightarrow v||^2-||\overrightarrow u||^2-||\overrightarrow v||^2=0\) , soit    \(||\overrightarrow u+\overrightarrow v||^2=||\overrightarrow u||^2+||\overrightarrow v||^2\) .
  C'est l'écriture vectorielle de la relation de Pythagore. Donc, par la réciproque du théorème de Pythagore, avec les notations ci-dessus, le triangle   \(\mathrm{ABC}\) est rectangle en \(\text B\) , donc les vecteurs   \(\overrightarrow{u}\)  et  \(\overrightarrow{v}\)   sont orthogonaux.